Pues no iba a escribir más del programa, pero acabo de ver la final y hay una prueba de la que tengo que hablar, de la que ha quedado en segunda posición, una prueba que ha realizado Martín. De Martín ya hablé en esta entrada con su prueba del cuadro mágico y recorrido del tablero con un caballo. Ahí expliqué que la prueba era más fácil de lo que parece, aunque costar debe de costar.
Para hoy ha realizado una prueba en la semifinal totalmente distinta, ha quedado finalista y en la final ha hecho una tercera prueba también distinta a las 2 anteriores. Y no ha ganado porque el otro finalista era un niño de 4 años, y ante el voto popular por un niño de 4 años que haga algo decente (que estuvo bien, pero eso), pues no se puede competir, aunque quedó muy cerca.
En fin, a lo que iba, hay que destacar que Martín se preparó pruebas distintas a las anteriores en poco tiempo por lo que tampoco se le puede pedir que haga algo realmente difícil (edito: además por lo visto en su twitter tuvo todavía menos tiempo. Pero aún así consiguió hacer lo suficiente para llegar a la final, y en la final algo para casi ganar. La segunda prueba que hizo consistía en descifrar códigos QR. Un código QR es algo como lo siguiente:
Esto lo podéis descifrar con el smartphone, en este pone Carlos. Martín explicó más o menos cómo se descifra. Yo no estaba atento y la verdad es que no me he entretenido en mirarlo, así que no sé cómo de fácil o difícil es la prueba. Pero vamos, básicamente la imagen es un código binario y del código binario se descifra lo que pone. Vamos a centrarnos en la prueba de la final.
Pues la prueba final consistía en lo siguiente, le daban un número de 4 cifras (obtenido de una matrícula) y tenía que dividirlo entre nueve y decir el resto, vamos, como hacíamos en el colegio:
23 entre 9 son 2 y sobran 5 ( es decir 23 = 9 x 2 + 5 ) así que el resto es 5.
Además tenía que hacerlo con 40 matrículas en poco tiempo (no sé si 100, 150 segundos o cuantos). Pues esta prueba es facilísima realmente, basta con usar lo siguiente:
El resto que da al dividir un número cualquiera entre 9 es el mismo que nos daría si lo hacemos con la suma de sus cifras.
Y con esto está tirado. ¿Qué pasa con el $latex 7214$? Pues que la suma de sus cifras es $latex 7+2+1+4=14$ y como $latex 14=9+5$ tenemos que el resto es 5. Efectivamente $latex 7214=9\times 801+5$.
Veamos otro ejemplo, el $latex 8878$, que salió en el programa. Pues se tiene que
$latex 8+8+7+8=31.$
Y como $latex 31=9\times 3+4$ el resto da 4. Pero por si os cuesta ver el resto de 31, todavía podemos simplificarlo más, podemos usar de nuevo lo de la suma de las cifras. El resto de 31 será el mismo que el de $latex 3+1=4$ por lo que nos queda 4.
Pero es que además en algunos casos se simplifica y no tenemos que sumar tanto. Por ejemplo, si nos sale algún 9 no hace falta sumarlo (sumamos el resto de cifras, sumar 9 no nos varía lo que será el resto), así que el resto de 9490 es 4 (sin sumar nada). Si 2 números suman 9 también nos podemos olvidar de ellos. Por ejemplo el resto de 6213 será 3 porque nos podemos olvidar del 6 y del 3 que suman 9 y $latex 2+1=3$. Bueno, este párrafo es algún truco para agilizar las cuentas, pero no hace falta. Ya he contado el truco, pero no voy a dejarlo ahí, vamos a explicar por qué se tiene esta propiedad.
Primero observemos que cualquier número de la forma $latex 10^n=100\dots 0$ da resto 1 al dividirlo entre 9. Efectivamente:
$latex 10=9\times 1+1.$
$latex 100=9\times11+1.$
$latex 1000=9\times 111+1.$
Y en general $latex 100\dots 0=9\times11\dots 1+1$ donde en los puntos suspensivos de la izquierda hay tantos ceros como unos en los de la derecha. Sencillo, ¿no? Para el que sepa congruencias, 10 es congruente con 1 módulo 9 y por tanto $latex 10^n$ es congruente con $latex 1^n=1 $ módulo 9. Cojamos ahora un número de 4 cifras $latex ABCD$ (valdría para más grandes, pero para escribir menos lo cojo así). Observad que este número se puedes escribir realmente como
$latex ABCD=A\times 1000+B\times100+C\times 10+D.$
Si ahora sustituimos 10, 100 y 1000 por las expresiones que hemos escrito antes tendremos que
$latex ABCD=A\times(9\times 111+1)+B\times(9\times 11+1)+C\times(9+1)+D$
Desarrollando los paréntesis y sacando factor común 9 en los productos que podamos nos sale
$latex ABCD=9\times(A\times 111+B\times 11+C)+(A+B+C+D)=9\times X+(A+B+C+D)$
donde hemos reescrito $latex A\times 111+B\times 11+C=X$ para simplificar la escritura. Con esto ya deberíais ver que el resto de dividir $latex ABCD$ entre 9 es el mismo que al dividir $latex A+B+C+D$. Pero por si acaso lo detallo más. Supongamos que el resto de $latex A+B+C+D$ es $latex Z$, es decir, podemos escribir
$latex A+B+C+D =9\times Y+Z$
para algún número $Y$. Si sustituimos esto en nuestra expresión de $latex ABCD$ tendremos
$latex ABCD=9\times X+(A+B+C+D)=9\times X+9\times Y+Z=9\times(X+Y)+Z$
con lo que nos quedaría que el cociente es $latex X+Y$ y por tanto el resto sería $latex Z$ que es precisamente el resto de $latex A+B+C+D$ y con esto queda comprobado el resultado.
Hemos hecho la prueba para números de 4 cifras, pero en realidad la misma prueba nos valdría para números de más cifras, pero para simplificar la notación (y puesto que con 4 cifras nos vale para el programa) lo he dejado así. Prueba bastante sencilla, ¿no?
No obstante insisto, no le quitemos mérito a Martín, ha tenido que inventarse pruebas en poco tiempo y al final ha dado buena imagen. De sus 3 pruebas creo que sin duda la que más dificultad tiene es la primera (a ver si tenemos suerte y nos lo confirma), que ya dijimos que es más fácil de lo que parece, pero aún así el ir recitando el tablero de memoria tuvo que costarle.
PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matemáticas Interactivas y Manipulativas.
PD2: Y no me aguanto, el que quedó penúltimo hoy, creo que tanto hoy como en su programa anterior hizo un Matias Kuttis. Algunos me entenderéis lo que digo 
PD3: Enhorabuena Martín, no por tu pruebas sino por algo mejor que te pasó que fue además lo culpable de que no pudieras prepararte mejor las pruebas
